1995年，美国学者Kennedy和Eberhart共同提出了粒子群算法，其基本思想源于对鸟类群体行为进行建模与仿真的研究结果的启发^[5]。其基本示意图见图2。

它的核心思想是利用群体中的个体对信息的共享使整个群体的运动在问题求解空间中产生从无序到有序的演化过程，从而获得问题的可行解。在探索过程中，每只鸟会记下自己曾找到过的、食物最丰富的地点，并且鸟群成员之间互相分享每次寻找食物的经验和成果，包括食物的位置及其数量。这使得整个鸟群能够了解到目前为止哪里的食物最为丰富。经过一段时间的努力，鸟群最终能够确定森林中食物最丰富的位置，即全局最优解。

图2 粒子群优化算法示意图Fig.2 PSO algorithm

图1粒子群算法中基本变量标识如下表所示：

其中x( d )为第d步时的位置，即目前某个粒子所处的森林空间位置；x(h,b,s)为一个三维函数；本文v( d )为第d步时的速度，即下一步运动在各个方向的速度取值v(v(h),v(b),v(s))；同时下一步速度还受到其他粒子的影响，基本计算公式如下：

x( d )=x( d - 1 )+ v( d )×t( t一般取1 ) （1）

v(d)=w*v(d - 1 )+ c₁*r( pbest (d)- x(d) )+ ...+c₂*R( gbest - x(d) )（2）

其中pbest和gbest分别为鸟群当前最优位置和鸟群全局最优位置（均为三维空间位置），若pbest ( h, b, s )- x ( h, b, s )为正，说明离最佳位置有距离，应增大速度以靠近最优位置，为负则应当远离此位置，pbest( h, b, s )同理；c₁与c₂在本文取0.9，分别代表自身位置和全鸟群位置对于下一步位置的影响。

表1 粒子群变量标识Table 1 Variable identification of particle swarm

惯性权重即鸟群保持自身上一步行动方向的能力在下一步行动中所有可能行动中的能力占比，若惯性权重越大，说明上一步行动对后续影响最大。传统算法中采用常数惯性权重。本文改进常数权重思想，利用惯性自适应权重^[6]，以当前最优解与全局最优解为影响因子判断自身下一步行动计划，具体计算公式如下所示：

其中f_average为第d次迭代时所有粒子的平均适应度， f_min为第d次迭代时所有粒子的最小适应度。

由于锚固支点存在位移，坡面支护梁并非完全固接；本文以偏安全的角度分析，将支座简化为铰支座。对该梁在均布荷载下受弯剪作用构件进行优化设计。利用CAD绘图软件绘制计算模型如下图所示，本文取混凝土保护层厚度α_s =40 mm。

图3 计算钢筋混凝土梁模型Fig.3 Calculation of the reinforced concrete beam model

为进一步探寻在均布荷载作用下混凝土梁的破坏情况以得到潜在危险面的可能位置，利用FLAC3D有限元软件进行数值建模模拟。在边坡支护框架简支梁顶部作用均布荷载的条件下模拟梁弯矩如下图所示：

图4 有限元模拟梁弯矩情况Fig.4 Finite element simulation of beam displacements

可以发现，钢筋混凝土梁在跨中位置竖向弯矩较大。若假定梁为线弹性结构，根据剪力基本公式 可知剪力为弯矩的一阶导数，则在支座附近剪力最大，应当配筋加以保证。

双筋梁根据x方向、y方向受力平衡以及弯矩M_u的平衡条件列出计算式为：

其中α₁为受压区混凝土矩形应力图的应力值与混凝土轴心抗压强度设计值的比值，x为受压区高度，f_c为混凝土受压强度设计值，h₀为有效受压区高度，f_y和f 'y为钢筋强度设计值，A_s为钢筋截面面积，x≤ξ_bh₀为必须满足适筋梁破坏条件，x≥2a's为了保证受压钢筋可以受压， 为必须满足的最小配筋率的要求。

而单筋梁计算计算公式为（7）（8）式消去与f'y相关两项即可。

图5 双筋梁计算原理图Fig.5 Calculation principle of double-reinforced beam

受剪力截面梁计算简图如下所示：

其中， α _cy为受剪承载力系数，本文取0.7； A _sv为配置在同一截面内箍筋全部截面面积，f_yv为箍筋抗拉强度设计值，本文取360 kN/mm²； A _sb为纵筋弯起筋面积，本文取纵筋面积的10%弯起。

图6 受剪梁计算原理图Fig.6 Calculation principle of shear beam

单筋弯剪截面梁和双筋弯剪截面梁的截面设计均是基于水平方向受力平衡和弯矩平衡进行设计计算。除此以外，截面还应满足极限截面受压区和最小配筋率的影响。根据规范要求，部分约束如下所示：

表2 不同约束情况与参数表达式Table 2 Different constraints and parameter expressions

粒子群算法本质为搜索最优空间位置（h，b， s）以降低造价，目标函数R ( x )应当收敛于一常数。

从图中看出，在历次单次均布荷载作用的弯剪截面设计中，通过粒子群优化过程使得造价函数最终收敛于合理的常数与事实一致。以上说明改进智能粒子群优化算法具有实际意义，可以为已知外力的钢筋混凝土梁设计提供优化指导。

图8 迭代造价变化趋势Fig.8 Change trend of iterative cost

从图中可以看出，初始状态外力矩较小时单筋截面梁与双筋截面梁的造价相似，而随着外力矩不断增加达某一阈值（本文为100 kN·m）时单筋梁的造价超过双筋梁，原因在于双筋截面梁在负弯矩段的钢筋抵消部分压力，而单筋梁必须增大截面高度和钢筋应用面积，使得造价升高。

图9 不同类型梁随外力变化的造价Fig.9 Variation of cost of different types of beams with external forces

从图中可以看出，在均布荷载q=111 kN·m的一次迭代下，在总造价降低的前提下，截面优化设计方向向着增大钢筋面积的方向前进，说明在混凝土配比一定、钢筋型号一定且截面尺寸满足要求的情况下，比较经济的设计方式为增大钢筋截面积来抵抗截面弯矩。

图 10 在大弯矩下迭代500次纵向钢筋面积的迭代变化Fig.10 Variation of longitudinal reinforcement area after 500 iterations under large bending moment

从图中可看出在迭代过程中，受剪钢筋混凝土梁箍筋设计优化路线向着箍筋截面面积不断变小，且箍筋间距同时变小的方向转化。所用箍筋总体积的计算公式：

其中V_u为剪力， D为箍筋直径， s为箍筋间距， ( V_u - 0.07f_cbh ₀ - 0.08f_y A_s1* ) s/f_yvh ₀为箍筋双肢横截面积，( h + b - 160 )为箍筋半周长，( 6000 +s)/( D + s)为近似箍筋根数。不难发现总体箍筋用量简化为箍筋间距的一次函数，因此在满足构造要求的前提下应减小箍筋间距使得利润最高。

图 11 在均布荷载下箍筋横截面积与间距迭代曲线Fig.11 Iterative curves of stirrup cross-sectional area and spacing under uniform load

下面验证在梁中心弯矩保持300 kN·m的前提下保持钢筋型号不变，改变混凝土和钢筋类型对于钢筋混凝土梁的造价影响，同样利用C25、C30型号混凝土与HRB400、HRB500型钢筋进行排列组合得到不同组合下钢筋混凝土最优设计对应造价如下表所示：

表3 同一弯矩下混凝土与纵向钢筋最终优化造价Table 3 Final optimized cost of concrete and longitudinal reinforcement under the same bending moment

从表中可以发现，在外力矩一定的前提下，保持混凝土强度不变而改变钢筋强度会使造价有一定程度降低；而保持外力矩一定时增加混凝土强度反而会造成造价升高。分析可知，在一定范围内钢筋强度的增强能减低钢材用量，而提高钢筋标号的价格增幅有限，最终价格降低。而混凝土强度升高造成原材料价格上升，且受压区极限应力增大需要更多钢筋来平衡，因此价格升高。