双曲线模型假定桩土界面上的剪应力τ与桩土相对位移 Δ 呈双曲线关系，其表达式为：

式（1）中：τ、Δ分别为桩土界面上的剪应力和桩土相对位移；k_si、τ_ult分别为桩土界面的初始剪切刚度和极限剪应力。根据Coulomb定律，τ_ult可由式（2）确定：

τ_ult =c + σ_m×tan φ（2）

式（2）中，c为桩土界面黏结强度，σ_m为有效约束应力，φ为界面摩擦角。Alonso等^[11]定义了桩-土界面初始剪切刚度如下：

k_si =τ_f/Δ_i（3）

τ _f =σ'h + tan φ' =k ₀ tan φ'( γ'z+ Δ σ') （4）

式（3）、（4）中：Δ_i为桩-土相对位移；φ′ 为土体有效内摩擦角；σ_h′ 为水平向有效应力；k₀为土的水平侧压力系数，可取k₀=1-sinφ′；γ′ 为土体有效重度；z为深度；Δσ′ 为某时刻深度z处的竖向附加有效应力，由式（3）计算桩土界面初始剪切刚度。

通过FLAC^3D建立数值模型，在桩土界面中分别采用理想弹塑性模型形式的界面荷载传递函数和双曲线形式的界面荷载传递函数对其进行模拟，并将模拟结果与现场实验结果进行对比。计算分析不同的桩土界面抗剪强度参数c、φ值对该场地单桩极限承载力的影响。

对不同荷载传递模型在不同桩土界面黏聚力和内摩擦角试验条件下进行数值建模分析，研究荷载传递模型和桩土界面抗剪强度参数对多层地基中单桩极限承载力的影响。模拟工况共为10分组，如表2所示。

表2 实验分组表Table 2 Groups of samples

土体模型尺寸设为长40 m，宽15 m，高25 m的长方体模型，采用摩尔库伦准则，部分参数赋值见表1。根据经验公式^[12]，体积模量K及剪切模量G可以通过式（5）~（7）求出：

式中：E₀为土体变形模量，υ为泊松比，E_s为变形模量，其计算结果见表1。

土体经过第一次地应力平衡后前期沉降位移图如图2所示。随后进行土体开挖、建立接触面网格及桩体建模，接触面根据土体网格和桩的接触面建立。桩体采用理想线弹性模型，各参数选取如表3所示。

图2 先期沉降竖向位移图Fig.2 Vertical displacement diagram of early settlement

表3 桩体参数Table 3 Pile parameter

对桩土接触面的法向刚度、切向刚度、摩擦角以及内聚力进行赋值。其中黏聚力和内摩擦角初始值选取周围土体对应数据的0.8倍^[12]，各层接触面初始参数取自现场试验实测值。为方便计算，将各层参数取平均值，内摩擦角为20°，黏聚力取3 kPa。赋值完成对模型进行再次收敛。并对桩顶采用分级加压方式加载，分级加载按照预估极限荷载的1/10进行加载，首级荷载是分级荷载的2倍，极限荷载取6000 kN，即从1200 kN开始加力后面每级加载时增加600 kN依次加载到6000 kN进行计算分析。加载过程中监测桩顶竖向位移及桩端竖向应力等性质便于做后续分析。

当内摩擦角为20^°，内黏聚力为3000 Pa时，分别在桩土界面为理想弹塑性模型和双曲线模型的条件下完成分级加载实验，监测桩顶位移变化，得到两种条件下的Q-s曲线，如图3所示。

采用相同的初始刚度时，在相同的荷载作用下，理想弹塑性模型计算的沉降值比现场实测的沉降值偏小，而双曲线模型计算的沉降值则与实测值的结果比较吻合，即桩土界面传递模型采用双曲线模型得出的单桩极限承载力与实测值较为吻合。由此可见，前者更好地反映了桩土界面的非线性特性，提高了计算的准确性。采用双曲线形式的荷载传递模型比采用理想弹塑性形式的荷载传递模型能更好地模拟桩土相互作用。

采用不同的界面黏聚力c及界面内摩擦角φ组合进行分级加载，同时监测桩顶竖向位移及桩端竖向应力变化。通过监测数据，绘制在桩顶不同竖向荷载的情况下顶竖向位移大小的Q-s曲线，图4与图5分别为不同黏聚力及不同内摩擦角的Q-s曲线。从图中可以看出，曲线均呈陡降型，根据《建筑桩基检测技术规范》（JGJ 106-2014），单桩竖向抗压极限承载力可取Q-s曲线第二个拐点对应竖向荷载。

当内摩擦角恒定时，不同界面黏聚力下的Q-s曲线如图4所示。随着黏聚力由2 kPa逐渐增加至4 kPa，对应荷载的沉降值有所减少，按照单桩竖向极限承载力在Q-s曲线上的取值方法得到上述工况下单桩竖向极限承载力如表4所示。

结果表明在一定范围内，增加桩土界面内黏聚力可以有效提升单桩极限承载力，各阶段上升幅度占比为16.13%与2.7%，随着黏聚力增大，上升趋势减小。

图4 不同黏聚力的桩顶Q-s曲线Fig.4 Q-s curve of pile top with different cohesion

由图5可知，当黏聚力恒定时，随着内摩擦角由20°逐渐增加至40°时，对应荷载的沉降值同样有所减少，单桩极限承载力见表4。结果表明在一定范围内单桩极限承载力随着内摩擦角的增大而增大，上升幅度为11.29%与3.48%，上升趋势随内摩擦角增大逐渐减小。

在表4中对比摩擦角与黏聚力对单桩极限承载力的影响程度可以发现，黏聚力对单桩极限承载力的影响更为显著，与陈俊桦^[3]通过试验研究接触面对桩土界面黏聚力与内摩擦角的影响结果相似。

图5 不同内摩擦角的桩顶Q-s曲线Fig.5 Q-s curve of pile top with different friction angle

表4 单桩极限承载力分布Table 4 Distribution of ultimate bearing capacity of single pile

通过监测最后一层土的法向应力来计算桩的端阻力，建模时最后一层土体对桩端起到支撑作用，监测最后一层土体与桩端接触面的法向应力并取每一级加载时的法向应力平均值。根据《建筑桩基技术规范》（JGJ94-2008）由式（8）计算得到桩的端阻力：

Q_p =α×q_p×A_p（8）

式中：q_p为桩端接触面处法向应力平均值，A_p为桩端截面面积，α为桩端阻力修正系数，可按表5取值。

桩侧阻力^[13]即为单桩极限承载力与桩端阻力的差值，计算结果如图6和图7所示。由于桩土刚度比k_p/k_s较大，界面抗剪强度参数变化影响桩侧摩阻力的同时，部分阻力传递至桩端由桩侧摩阻力与桩端阻力共同分担，其分担荷载比（Q_s/Q_p）见表4。从图6中可以看出，黏聚力的变化对桩端阻力影响较小，对桩侧摩阻力影响较大。单桩极限承载力的增大主要由桩侧摩阻力发挥作用。同时，图7与图6变化趋势相似，即内摩擦角对单桩极限承载力的影响趋势与黏聚力相似。

表5 桩端阻力修正系数α Table 5 Correction factor α of pile tip resistance

比较图6和图7，黏聚力增加时，单桩极限承载力的增长数值较大，即在一定范围内黏聚力相比于内摩擦角对单桩极限承载力的影响更明显。其分担荷载比的增加趋势与黏聚力相反，与内摩擦角相同，其变化范围较界面抗剪强度参数变化程度较小。结果表明选取较大界面内摩擦角增加可以更好的发挥桩侧摩阻力作用；相反，较大的界面黏聚力会增加桩端阻力承载能力。

图6 桩土界面黏聚力对桩侧摩阻力和桩端阻力的影响Fig.6 Influence of interfacial cohesion on pile lateral friction and pile tip resistance

图7 桩土界面内摩擦角对桩侧摩阻力和桩端阻力的影响Fig.7 Influence of internal friction angle on pile lateral friction and pile tip resistance