（1）隧道穿越土层土质均一。

（2）管片发生转动，受拉区由混凝土和连接螺栓共同承担拉力且螺栓一直处于弹性状态；受压区由混凝土单独承担压力且受压混凝土始终处于弹性状态。

（3）截面变形符合平截面假定和小变形假定。

（4）连接螺栓受拉用弹簧受拉模拟，环缝的张开量等效为螺栓的拉伸量。

（5）以两相邻管片环的中心线间距l_s为一个计算单元，螺栓的收拉长度为其本身长度l_b，管片的受压长度为整个单元长度。

根据实际工况下，隧道衬砌横截面在堆载作用下其圆形截面产生“横鸭蛋”变形，建立如图3所示隧道衬砌横截面计算模型。

图3中a、b分别为椭圆的长轴和短轴；c为中性轴到水平对称轴的距离；φ为中性轴衬砌上一点和原点连线与水平对称轴的夹角。在管片上取微单元ds，其到椭圆圆心的距离r可近似取（a+b）/2，dα是微单元所对应的圆心角，α为微单元和原点连线与椭圆竖向对称轴的夹角，x为微单元到中性轴的距离。

ds=[(a+b)da]/2 （1）

图3 横截面变形图
Fig.3 Cross section deformation diagram

图4为堆载下衬砌应力应变状态。

图4 衬砌应力应变图
Fig.4 Stress-strain diagram of lining

此时ds满足式（2），ds处于衬砌受压侧（即中性轴以下）：

x_c=acosa-c-Δx （2）

ds处于衬砌受拉侧（即中性轴以上）：

x_t=acosa+c-Δx

Δx=（a-b）（1-sina）

由变形协调条件可得受拉侧螺栓的最大变形量δ_t和受压侧管片的最大变形量δ_c：

δ_t（max）=（b+c）θ （4）

δ_t（max）=（b-c）θ （5）

式中θ为截面转角。

由力的平衡条件得：

（6）

结合变形协调条件，得φ满足：

（7）

由弯矩平衡条件得：

（8）

式（8）中：E_c和E_b分别为管片的弹性模量和螺栓的弹性模量；A_s和A_b分别为隧道的横截面面积和螺栓横截面面积；n为纵向螺栓数量；t为管片厚度；K_b为单个螺栓的弹性刚度。

假设：

c≈[(a+b)/2]sinφ （9）

K_b=E_bA_b/l_b （10）

将式（2）、（5）、（9）、（10）代入式（8），得：

（11）

解得：

（12）

纵向等效连续化模型在M相等时其转角为：

θ=Ml_s/(EI)_eq （13）

由式（12）、（13）解得：

（EI）_eq=E_cψ₁+(nl_sK_bψ₂/A_s) （14）

式（14）中，（EI）_eq为纵向等效抗弯刚度。

衬砌在弹性阶段的最大张开量δ^e_max即受拉侧最外缘螺栓达到弹性极限时的张开量，其大小可看成受拉侧最外缘螺栓的变形量，而此时管环所受弯矩即为其弹性极限弯矩M_y。

（15）

式（15）中，Ny为螺栓的弹性极限拉力。由式（15）可得：

（16）

考虑螺栓预应力N₀的影响：

（17）

（18）

衬砌在标准状态下，竖向直径和水平直径相同，即a=b=2.925 m。

将表1中参数代入式（10），得单个螺栓的弹性刚度K_b=3.534*105 kN/m，将K_b代入式（7）得φ=55°，进而可以求得ψ₁=0.185，ψ₂=64.260，将ψ₁和ψ₂代入式（14），即可求得弹性状态下管环的纵向等效抗弯刚度（EI）_eq=6.640*107 kN/m²，将其带入式（18）的螺栓在弹性状态下可以承受的最大弯矩M_y=6.990*105 kN·m。

根据现有地铁设计规范，可将地表堆载等效为隧道上覆土层[12]，本文基于文献[6]室内模型试验（如图5所示）的结果，整理取得隧道上覆堆载高度h和与其相对应的隧道水平及竖向直径数值。如表2所示，其中D=5.85m。

将表2数据代入公式计算，计算结果如表3所示。

图5 堆载下衬砌变形图模型试验[6]
Fig.5 Model test of lining deformation under heap loading

表1 盾构隧道的主要结构参数[11]
Table 1 The main structural parameters of the shield tunnel

表2 隧道上覆堆载高度h和与其对应的a、b值
Table 2 The heap height of tunnel h and its corresponding a and b values

表3 不同上覆堆载高度下衬砌的纵向等效抗弯刚度及其极限弯矩
Table 3 Longitudinal equivalent flexural stiffness and limit moment of lining under different overburden heap height

图6、图7分别为隧道上覆堆载高度与纵向等效抗弯刚度及隧道极限弯矩的变化关系曲线图。从图中可以发现：随着隧道上覆堆载高度的增加，隧道的纵向等效抗弯刚度及其极限弯矩呈明显下降趋势即隧道的纵向等效抗弯刚度及其极限弯矩随隧道上覆堆载高度的增加而减小，且纵向等效抗弯刚度呈线形减小，极限弯矩呈抛物线减小

上覆堆载高度与衬砌纵向等效抗弯刚度的关系拟合公式为：

（EI）_eq=-0.123h+6.650 （19）

上覆堆载高度与衬砌极限弯矩的关系拟合公式为：

M_y=-0.0506h²-0.0767h+6.9939 （20）

为了更直观地呈现隧道上覆堆载高度与衬砌纵向等效抗弯刚度和极限弯矩的关系，本文引入新的概念：纵向等效抗弯刚度折损率，即衬砌纵向等效抗弯刚度随上覆堆载高度增加的减小量与原值之比；极限弯矩折损率，即衬砌极限弯矩随上覆堆载高度增加的减小量与原值之比。

上覆堆载高度与衬砌纵向等效抗弯刚度折损率的关系拟合公式为：

（21）

上覆堆载高度与衬砌极限弯矩折损率的关系拟合公式为：

（22）

假设无堆载工况下折损率为零，对上述公式分别进行修正：

如图8所示，虚线为修正前曲线，实线为修正后曲线。堆载高度为0.59 D时，衬砌纵向等效抗弯刚度折损率和极限弯矩折损率均为0.900%，可以发现在隧道上覆堆载高度不超过0.59 D时，衬砌纵向等效抗弯刚度折损率和极限弯矩折损率变化量基本一致。上覆堆载高度大于0.59 D后，随着堆高的增加极限弯矩折损率增值速率明显超过纵向等效抗弯刚度折损率增值速率。但从两者的增值趋势来看，都呈抛物线型增长，且其切线斜率增长较快，因此隧道上覆堆载过大，将大大降低衬砌的力学性能，严重时将造成衬砌破损，给隧道运营带来严重的安全隐患[14-15]。

本文根据衬砌纵向等效抗弯刚度折损率和极限弯矩折损率的变化，采用不同的方式对隧道进行加固。结合顾春华[15]提出的隧道结构加固原则：首先粘贴芳纶布对隧道进行临时加固，然后采用钢圈支护补强。针对横向变形介于10 cm和12 cm的管片，进行半环安装；横向变形大于12 cm的管片，进行整环安装，本文建议：当堆高≤0.59 D，衬砌纵向等效抗弯刚度折损率和极限弯矩折损率都不超过0.9%时，采用芳纶布对隧道衬砌进行加固；当0.59D＜堆高＜1.10D，衬砌纵向等效抗弯刚度折损率小于1.8%,极限弯矩折损率小于2.1%，建议采用芳纶布结合钢环半环加固衬砌；当堆高≥1.10D，衬砌纵向等效抗弯刚度折损率超过1.8%，建议采用钢环整环加固衬砌。

图6 上覆堆载高度与衬砌纵向等效抗弯刚度的关系曲线
Fig.6 Relationship between overburden heap height and longitudinal equivalent bending stiffness of lining

图7 隧道上覆堆载高度与衬砌极限弯矩的关系曲线
Fig.7 Relationship between overburden heap height and lining limit bending moment

图8 衬砌纵向等效抗弯刚度和极限弯矩折损率关系曲线
Fig.8 The relationship between the longitudinal equivalent bending stiffness and ultimate bending moment damage rate

杭州地铁1号线彭埠站—建华站及彭埠站—七堡出段线盾构区间位于江干区彭埠镇，彭埠站—建华站区间左线长约1529 m，右线长约1622 m，隧道埋深6~25 m；彭埠站—七堡出段线区间长约650 m，隧道埋深约4.5~9.5 m。

盾构隧道竣工完成后，2011年5月施工方发现已建成盾构保护范围内有社会车辆弃土，随即向地铁公司发函表明要立即卸载，以防地面超载引起管片变形过大，避免发生工程事故。堆土位于泸杭高速西侧白石村地块，堆土高度5~10 m，范围长达260 m，与区间受损管片范围一致（图9）。由于两区间上部堆载，土体固结产生沉降。加载及沉降导致隧道变形，道床与隧道脱开，管片发生不同程度的碎裂。

图9 隧道上覆堆载平面示意图
Fig.9 The schematic plan view of overburden

现场观测彭埠站—建华站区间联络通道两侧10环范围内横向收敛变形达到109 mm，其管片状态不稳定处于发展状态。结合本文研究成果可估算出该范围衬砌纵向等效抗弯刚度折损率和极限弯矩折损率分别约为3.65%和4.98%。根据前文提出加固意见，采用钢环整环加固衬砌。区间内其余收敛变形大概为50~60 mm。此部分区间衬砌纵向等效抗弯刚度折损率为1.31%~1.68%，极限弯矩折损率为1.41%~1.89%。根据前文提出加固意见，采用芳纶布结合钢环半环加固衬砌。