光纤光栅是一种纤维纤芯的折射率在轴向上呈现周期改变的衍射光栅，它属于一种窄带光学反射元件^[8-9]。一束光入射到光纤光栅后，因为受到多光束干涉的影响，只能对某个特定波长的光进行反射^[10]。光纤光栅位移传感装置主要由以下部分构成：一根等强度的悬臂梁及其上、下两个表面分别粘附有光纤光栅的传感元件、基座、套管和盖板等，具体如图1所示^[11-13]。

图1 光纤位移传感器结构示意图Fig.1 Schematic structure of optical fiber displacement sensor

由图1所示，由于位移传输杆件受外载荷的影响而发生了滑移，因此传送弹簧被拉伸，从而使其本身所受的张紧力以一种集中力的形式施加于悬臂梁的自由端部^[14-15]。所述悬臂的一端被固定于与所述弹性防护管连接为一整体的所述柱状刚性防护管的内壁，所述内壁的上壁和下壁上各附着有所述敏感光栅对^[16]。由于悬臂梁下端受到挤压而引起的负形变形和上端受到拉伸而引起的正形变形，使得悬臂梁上端受到拉力而引起的两个敏感光栅的中心波长发生相对的偏移，它的差异可以用来表示由位移传递杆引起的位移量。

其光纤位移传感器数学模型为，假设传感器在使用过程中将传感器中的位移传输杆拉开，使得所述位移传输杆的位移为R，则所述传输弹性管

本身的张力为Δe，所述拉伸力G集中在悬臂的自由端上，从而导致悬臂弯曲^[17]。设自由端的弯曲为ω，则可得出：

R=Δe + ω（1）

在传输弹簧本身被拉伸时，与之对应的拉伸力为G：

G=P_eΔe（2）

式（2）中， 是变速器弹簧的刚性，其中U是弹簧材质的剪切变形模数^[18]，e是直径，E是弹簧的内径，A是弹簧圈数。

假设该悬臂具有a的长度，b₀为等腰三角形的底部宽度，h为厚度，E为弹性模数^[19]。当悬臂梁受拉力为U时，所引起的绕度可表示为：

将式（1）至式（3）相结合，得到了在悬臂梁自由端上施加的集中力 L 和传感器的位移 R 的关系式^[20-23]：

在实际使用中，外部环境（如承载力、温度等）的改变会导致芯层等效折射率、光栅常数等参数发生改变^[24]。由于光纤光栅的中心波长对承载力和温度都很敏感，因此在使用过程中，需要将温度对光纤位移传感器的影响消除掉，为方便修正受温度的影响本文给出光纤位移传感器启动时弹簧与悬梁臂间形变示意图，具体如图2所示。

图2 弹簧与悬梁臂间形变示意图Fig.2 Schematic diagram of deformation between spring and cantilever beam

从物质力学的角度出发，在一个等腰三角悬臂梁的自由端，设悬臂梁自由端到加载点的距离为a，在受到集中荷载Z的影响时，其表面每个点的应变值表示为^[25]：

根据耦合原理，在等腰三角悬臂结构上，承载力在任何情况下都是一致的，且不受空间位置的影响。入射到符合光栅处的光都会被反射，光栅的反射中心波长δ_B为：

δ_B =2n_effΓ（6）

式（6）中，n_eff是各模在芯层中的等效折射率^[26]，Γ表示该光栅在时间上的间隔。在外部环境如温度、应变的影响下，n_eff和Γ会发生改变，并且应变和温度可以互相独立地导致光纤光栅中心波长的偏移。这样，在承载力与温度共同影响下，为消除温度影响需要将两者相加值表示其在光栅上的反射波长位移量：

式（7）中，Δδ_B为反射波长在外部温度的影响下发生的变化量^[27]，q是光纤的有效弹性系数，j是光纤的导热系数，τ是该光纤的热光学系数，ΔW是外部环境温度的变化。

因为两只光纤光栅处在相同的环境中，所以在温度的改变情况下，随机两个光栅的波长δ_B1和δ_B2的偏移应当是相同的，而在悬臂梁上、下表面的光栅所感受到的波长是不同的，分别是正负应变。但其幅度是相同的，按照双光栅的对称性设计，两光纤光栅在承载力的影响下，其中心反射波长δ_B1和δ_B2与短波的偏移Δδ_b1和Δδ_b2的差异可以通过以下公式表达出来：

由式（8）可看出，波长间距没有受温度影响，所以该方法能有效地消除温度效应对位移测量结果的影响。

修正光纤位移传感器后，在使用传感器过程需要将基桩转换成纯弯曲数学模型，方便传感器后续测量与计算。

住宅房屋地基工程施工和使用期间，基桩既有安装后的非线性膨胀变形，又有长期服役引起的承载力松弛，再加上外力作用和压缩效应，都会引起周边构件表面的切向拉伸和径向膨胀等承载力变化，使整体上呈现出外部曲率的改变。本文建立一个纯粹的弯曲模型，把埋入其中的光纤光栅的应变值η转换成曲率。在纯力矩的情况下，杆身上部为压力，下部为拉力，且在剖面高度上呈顺应性。从下表面延伸到上表面收缩，总会有一个恒定的纤维层，这就是所谓的中间层。在模型被弯曲后，离中间层距x的纤维c的长度为：

f_c =rβ + xβ（9）

式（9）中，r是中性层曲率半径，β表示该基桩的弯折角。原始的纤维c的长f_c等于弯曲后原始的纤维O₁O₂的长，那么：

假定在c 层上设置了光纤光栅A，那么该层的正承载力η₊可以表达为：

可以得到基桩纯弯曲数学模型：

式（1 2）中， α_υ表示曲率测量灵敏度系数，在位移传感器研制完成并校准了光纤曲率之后，所得到的敏感度系数是一个恒量。υ是中性层曲率，在以后的计算中，为了简单起见，中性层距最里面的一层的距离比附属物的直径要小得多。在此基础上，可以把中间层曲率看作是最外面的基桩的曲率。

构建出基桩的纯弯曲数学模型后，基于弹性力学原理，可将完工状态下的基桩形态简化成一个厚壁柱，其位移承载力在柱体上的分布是一个中心轴对称的形式。本文将基桩承载力的计算方法，尽量简化为厚壁圆柱体的平面轴对称问题。而在平面轴对称问题中的未知量主要包括了径向、切向承载力，径向、切向应变和径向位移量，通常被表示为ς_r、ς_θ、η_r、η_θ、u，其满足基础方程式和对应的边界条件的平衡方程式为：

式（13）中，r是厚壁圆柱体的当前径向坐标。

将其转换为几何表达式为：

本构方程可表示成：

式（15）中，v是圆柱的Poisson系数，通常是0.49， K表示圆柱的弹性系数。由式（1 5）可知变形协调表达式可表示成：

将式（15）与式（16）相结合，就可得出用承载力分量表达的协调表达式：

由式（13）可得到：

对以上的方程进行整理，就能获得只包括ς_r的微分方程。假定厚壁圆柱体的外侧和内侧分别承受压力z₁和z₂，n为基桩位移之前的内径，m为基桩位移之前的外部直径。在承载力分量中引入边界条件，得到位移分量：

假设将没有发生过位移变形的地基基桩的外部曲率定义为υ₁，将发生过位移变形的地基基桩的外部曲率定义为υ₂。通过对式（19）的变形，可以得出基桩界面承载力z₁与υ被测曲率（包括υ₁和υ₂）的关系如下所示：

根据上述光纤光栅、纯弯曲、厚壁圆筒平面轴对称相关数学模型，总结得到基于光纤位移传感技术的住宅建筑岩土工程勘察地基承载力分析方法，具体如下：

1）已知参量：住宅建筑岩土工程勘察地基基桩的曲率半径r。

2）被测参量：参数K可以从建筑物的参数中获得，也可以自行测得。

3）测定曲率：测定基桩外壁在变形之前和之后的曲率。

4）承载能力分析：将测定的曲率和各个已知参数，用公式（20）计算，求出基桩承载力值。