模态参数识别是结构动力学研究的核心环节，对于准确把握结构在动态荷载作用下的响应特征至关重要。其中，工作模态分析（Operational Mod‐al Analysis，OMA）因其仅依赖系统输出响应数据即可识别模态参数的显著特点而独具优势。这一特性使其特别适用于在役基础设施的模态识别需求。因此，OMA已成为土木工程领域模态测试的主导方法。

经典OMA方法依据输入数据的性质可分为频域法和时域法两大类。代表性的频域法包括峰值拾取法（Peak Picking， PP）^[1]、频域分解法（Fre‐quency Domain Decomposition，FDD）^[2-3]以及基于传递率的方法^[4]等。此类技术将实测响应转换至频域，通过辨识特定图谱中的峰值或极点来确定模态。与之相对，时域法则直接利用实测数据进行参数识别，例如基于脉冲响应函数自由衰减特性的 随 机 减 量 法（Random Decrement Technique， RDT）^[5]和自然激励法（Natural Excitation Technique， NExT）^[6]，基于系统辨识的随机子空间法（Stochas‐tic Subspace Identification，SSI）^[7-8]和特征系统实现算法（Eigensystem Realization Algorithm， ERA）^[9]等。此外，基于信号处理^[10-11]的新方法也相继涌现。

近年来，随着人工智能与神经网络的发展，融合神经网络和传统OMA技术的方法为结构模态识别提供了新的解决方案。

其中，基于监督学习框架的方法利用传统模态分析结果作为监督信号训练神经网络。例如， Qin等^[12]将随机减量技术（RDT）预处理后的加速度响应作为输入，解析解作为目标输出，构建编码器-长短期记忆网络（LSTM）自适应识别模型；Shu等^[13]提出基于稀疏成分分析（SCA）构建训练数据集，通过深度神经网络学习结构模态分离模式。

此外，基于非监督学习框架的方法则通过设计数据特征约束损失函数实现无标签学习。例如，Liu等^[14]构建多层神经网络，将模态坐标的非高斯性、互不相关性及信号重构质量作为约束条件，实现基于独立成分分析的模态解耦；Mao等^[15]提出贝叶斯快速傅里叶变换自动化框架，首先采用卷积神经网络从含噪交叉MAC矩阵中辨识共振频带，进而利用Kohonen网络对归一化奇异值序列聚类以确定模态数量。然而，现有非监督方法的网络架构均较为复杂，且对深层非线性网络的解释性较弱。

考虑实际工程应用中在线实时模态分析对于效率的需求，本文基于非监督学习框架，设计了一个基于单层频域自编码器的结构模态分解网络（Frequency Domain Autoencoder based Modal Decom‐position Network，FDAE-MDN）。该网络以测量结构频域响应作为输入，经单次编码和解码后以重构频域响应作为输出。为使得网络编码结果为频域模态坐标，基于单模态信号的带宽紧致特性设计了相应的数据特征约束损失函数。在数据特征约束和重构误差的驱动下，经无监督训练后，即可通过网络编码结果获取模态坐标信息，通过解码层权重矩阵提取模态振型信息，实现对原始信号的模态分离。该网络结构简单，并具备完全可解析性，利于工程结构实时监测的应用。

使用如图2所示的一个六层剪切结构模型进行方法验证。该模型中，结构刚度和质量在各楼层中均匀分布，每楼层刚度为150 kN/m、质量为100 kg。因此，该模型的各阶自振频率为1.4860 Hz、4.3716 Hz、 7.0032 Hz、 9.2277 Hz、 10.9160 Hz和11.9699 Hz。此外，结构阻尼采用Rayleigh阻尼。假设模型的前两阶阻尼比均为1%，则可推算得到Rayleigh参数分别为a₁ =0.1394 s^-1及a₂ =0.1394 s，进而可基于刚度矩阵K和质量矩阵M计算得到模型的阻尼矩阵为C=a₁ M + a₂ K。

图2 六层剪切结构模型Fig.2 A six-storey shear building model

对模型的所有楼层施加符合高斯分布的且偏差为100 N的白噪声激励，使用Newmark-Beta法计算模型响应。对计算得到的响应加速度进行100 Hz的采样，并施加如式（11）所示的随机噪声。

式（11）中， y_k (t)_i 为计算得到模型第k个自由度在时刻t _i的响应，RMS(∙)表示均方根算子， ε为噪声等级，r为符合标准正态分布的随机数。

对模型响应进行傅里叶变换，则得到维度为c×l的网络输入矩阵：

式（12）中，c和l分别为测量通道数及离散的频率数。把 代入式（6）的 中进行网络训练。由于该结构模型阶次为6，则编码层输出是维度为6×l的矩阵。最终，经过解码层得到维度为6×l的重构信号矩阵。

在本算例中，固定网络学习率为γ=0.01，采用RMSprop优化器进行网络优化，则网络参数更新方式如式（13）所示。

式（13）中，t是迭代步，L=w₁loss₁ + w₂loss₂为使用的损失函数，∇_w L(w_t) 表示损失函数对网络参数求导，g_{t+ 1}则为计算得到的梯度。G_t是在设定衰减率λ下计算得到的累积平方梯度，ε为固定小值。

当噪声强度设置为5%时，模型各层的频域响应如图3所示。使用FDAE-MDN进行模态分离，分离结果及训练过程分别如图4和图5所示。

图3 噪声强度5%下模型频域响应Fig.3 Model frequency-domain response at 5% noise intensity

图4 噪声强度5%下FDAE-MDN模态分离结果Fig.4 Modal separation results of FDAE-MDN at 5% noise intensity

图5 噪声强度5%下FDAE-MDN训练过程Fig.5 FDAE-MDN training process at 5% noise intensity

结果显示，FDAE-MDN在训练约4000个轮次后便对模态信息进行了有效的分离。通过分离得到模态坐标峰值确定各阶自振频率。与真实值对比，识别频率最大相对误差为1.3%。此外，训练后网络解码层的权重矩阵即为模态振型的识别结果。结果显示，模态振型具有非常高的识别精度，与真实值比较，最低MAC值为0.9997。

为观察分离矩阵（FDAE-MDN编码层权重矩阵）的估计情况，图6展示了网络编码层权重矩阵W₁和解码层权重矩阵W₂的正交性评价。根据式（7）和式（8），若网络编码层的输出及解码层的权重矩阵分别是对模态坐标和模态振型的有效估计，那么W₁和W₂应该具有正交性。图6结果显示，经训练后FDAE-MDN的权重参数符合预期的正交性，即能很好地对分离矩阵进行估计。

为进一步评估FDAE-MDN的模态分离效果，表1和表2对由不同方法得到的自振频率和模态振型^[17]进行了对比。结果显示，在自振频率识别上， FDAE-MDN的识别精度达到传统频域分解法的水平；在振型识别精度上略优于SSI-cov方法。

此外，表3统计了在不同噪声强度下，FDAE-MDN的模态分离效果。可见，FDAE-MDN的模态分离效果受测量噪声的影响很小。在20%的高噪声水平下，FDAE-MDN依然能得到精确的自振频率和模态振型识别结果。

图6 六层剪切结构模态分离任务中编码层与解码层权重矩阵乘积Fig.6 Product of encoder and decoder weight matrices in modal separation of a six-story shear structure

表1 噪声强度5%下不同方法的频率识别结果及相对误差Table 1 Identification results and relative errors of natural frequencies obtained from different methods at 5% noise intensity

表2 噪声强度5%下不同方法的振型识别结果MAC值Table 2 MAC values of mode shape identification results from different methods at 5% noise intensity

表3 不同噪声水平下FDAE-MDN的模态分离效果Table 3 Modal separation performance of FDAE-MDN at various noise levels

本文以一栋采用基础隔震体系的地上3层钢筋混凝土框架结构为研究对象，开展环境振动监测。在每层楼面布置3个三分量MEMS加速度传感器，共计9个测点（27测量通道），其平面分布如图7所示。所有传感器均固定于各层对应位置构造柱的顶部，具体安装细节见图8。

图7 基础隔震建筑振动监测测点平面分布Fig.7 Plan layout of vibration monitoring sensor locations for a base-isolated building

图8 传感器安装方式Fig.8 Installation of MEMS accelerometers on structural columns

基于各测点1小时的水平向振动记录进行分析，其时程及对应的傅里叶幅值谱如图9所示。其中，通道1与2、3与4、5与6分别对应建筑首层西北角、东北角和东南角测点沿结构长轴方向和短轴方向的水平振动数据；其余通道的测点布置依此类推。图9（b）显示，建筑共3阶模态被显著激发。因此，本案例中网络输入层、编码层、解码层的神经元数量分别设定为18、3和18。

图9 振动监测数据Fig.9 Vibration monitoring data

以图9（b）所示的频域数据作为网络输入，固定网络学习率为γ=0.01，采用式（13）所示的RMSprop优化器进行网络优化，训练过程中各损失函数的变化如图 10所示。最终得到模态坐标分及模态振型的识别结果如图 11所示。

图 10 工程案例中FDAE-MDN训练过程Fig.10 FDAE-MDN training process of the engineering case

图 11 工程案例中FDAE-MDN模态分离结果Fig.11 Modal separation results of FDAE-MDN in the engineering case

由图 11可见，FDAE-MDN成功实现了各阶模态的分离，模态坐标表现出明显的单频特征。基于模态坐标提取的自振频率与SSI方法的结果对比如图中标注所示。两者识别结果基本一致，第三阶自振频率的相对误差最大，为1.63%。

在模态振型识别方面，与SSI方法的结果相比，FDAE-MDN的识别结果在部分测点处出现了相位翻转现象。这一现象源于本网络在采用复数形式输入数据的同时，所设计的损失函数未对相位信息施加显式约束。当实际测量数据存在噪声或误差，且基础隔震结构可能表现出复模态特性时，测量信号中可能包含不可忽略的相位偏差。在此情况下，神经网络倾向于在当前数据条件下寻求最优拟合解，从而将相位偏差也反映在输出的振型中。

相比之下，SSI作为一种基于线性系统假设的模型驱动方法，其识别流程内在地强制输出实值振型向量。因此，传统方法（如SSI、FDD）会将微小的相位扰动平滑处理，或将其投影至最邻近的实数子空间，从而避免相位翻转。对FDAE-MDN识别所得振型进行相位校正（即对发生翻转的测点取反）后，其结果与SSI高度一致，最小模态置信因子（MAC）值达0.9977，表明两者振型高度相似。

此外，图 12展示了训练完成后FDAE-MDN编码层与解码层权重矩阵的乘积。可见，该乘积矩阵极为接近单位矩阵，充分满足式（2）所述的盲源分离目标。这一结果进一步验证了在本案例中， FDAE-MDN已成功实现高精度的模态分离。

图 12 工程案例模态分离任务中编码层与解码层权重矩阵乘积Fig.12 Product of encoder and decoder weight matrices in modal separation of the engineering case

本文基于无监督学习框架，提出了一种基于单层频域自编码器的结构模态分解网络（FDAE-MDN）。该方法利用结构频域响应作为输入，结合模态坐标在频域中具有带宽紧致性的数据特征，设计了一种简洁而有效的数据驱动约束损失函数。经无监督训练后，网络编码层输出可直接表征各阶模态坐标，用于提取结构自振频率；解码层权重则隐含模态振型信息，实现振型识别。值得注意的是，FDAE-MDN的编码-解码过程在数学上对应于盲源分离（BSS）中的解混与重构过程，赋予模型良好的物理可解释性。

通过六层剪切结构的数值仿真验证表明， FDAE-MDN能够有效分离多阶模态，在自振频率和模态振型识别精度方面与传统OMA方法相当，且在不同噪声水平下均表现出优异的鲁棒性。进一步地，在某实际基础隔震三层建筑的振动监测案例中，FDAE-MDN成功识别出被激活的全部三阶模态，频率识别结果与SSI相比最大相对误差仅为1.63%；经相位校正后，模态振型的最小MAC值达0.9977，充分验证了其在真实工程场景中的适用性。此外，得益于其轻量化的网络结构， FDAE-MDN具有较高的计算效率，相较于现有基于深度神经网络的模态识别方法，更适用于资源受限的实时结构健康监测系统。

然而，本方法仍存在若干局限性：

（1）由于FDAE-MDN建立在盲源分离框架之上，其理论前提要求观测通道数不少于源信号（即模态）数量。在测点布置稀疏的实际工程场景中，模态分离性能将显著下降，限制了其在传感器数量受限项目中的应用。

（2）当前损失函数主要依赖数据驱动的频域紧致性约束，缺乏对结构动力学特性的显式强物理约束，导致在复模态特征或测量噪声干扰下可能出现振型相位翻转等问题。

针对上述不足，未来工作可从以下方向改进：一是引入压缩感知或生成先验机制，提升模型在欠定条件下的模态辨识能力；二是融合物理信息神经网络（Physics-Inform Neural Network，PINN）思想，在损失函数中嵌入结构动力学方程或模态正交性等物理约束，增强模型的物理解释性与稳定性；三是探索复值网络架构与相位不变损失设计，从根本上缓解相位不确定性问题。这些改进有望推动FDAE-MDN向更高鲁棒性、更强泛化能力的工程实用化模态识别工具演进。