损伤理论在损伤模型中的研究应用较广，其中大量的损伤模型都是基于Lemaitre应变等效性假设下建立的^[22]，如下式（1）所示。该假设表明，滑带土土体的抗剪强度主要有两部分组成，一部分为滑带土土体已受到损伤部分，另一部分为滑带土土体未受到损伤部分，且已受到损伤部分不具有任何抗剪强度，如图1所示，其中空白部分是材料的未受到损伤部分，阴影部分是材料已受到损伤部分，其中假定微单元的宏观名义水平剪应力为τ₁，未受到损伤部分滑带土土体的有效剪应力为τ^'₁，已受到损伤部分滑带土土体材料的微观水平剪应力为τ^r₁，损伤百分比为D。

τ₁ =τ^'₁ (1 - D)（1）

由式（1）可知，当滑带土土体完全破坏时，即当D=1时，滑带土土体的名义剪应力必须为0，即剩余抗剪强度为0，这与实际情况明显相反。然而[26]，其中假设滑带土土体在发生剪切破坏时，滑带土土体的抗剪强度由岩土体内部已发生损伤部分的剪应力以及未发生损伤部分的剪应力共同组成，如下式（2）所示。

τ₁ =τ^'₁ ( 1 - D )+ τ^r₁D（2）

由式（2）可知，当滑带土土体处于完全破坏状态时，即当D=1时，τ^'₁（1-D）=0以及τ₁=τ^r₁。由公式（2）可₁以看出，处于完全破坏状态的滑带土土体仍具有一定的抗剪强度，这与实际情况完全相符，因此，为了建立能够反映岩体微振动剪切强度衰减的累积损伤本构模型，做出了以下假设：

（1）在剪切荷载作用下，滑带土土体中的材料被简化无数个微元组成，主要分为已受到损伤部分和未受到损伤部分，同时岩体所受剪应力由这两部分的抗剪强度共同组成。

（2）在滑带土土体处于剪切破坏的状态下，一些未损伤部分岩土体的应力状态和岩石强度参数满足摩尔库仑破坏准则，如式（3）所示。

式（3）中：σ₁为结构面处于极限破坏状态时的有效第一主应力，σ₃为结构面处于极限破坏状态时有效第三主应力。φ为滑带土土体处于极限平衡状态时的内摩擦角。

图1 岩石微单元剪切应力示意图Fig.1 Shear stress for rock microelement

（3）滑带土土体的损伤只发生在水平剪切方向，竖向不发生损伤，即滑带土土体在水平方向的剪应力由材料已受到损伤和未受到损伤两部分材料共同承担，岩石垂直方向的名义法向应力等于有效法向应力。

（4）滑带土土体在受到水平剪应力的作用下，滑带土土体的抗剪强度逐渐增加到峰值强度后迅速下降至残余强度，其中 示为滑带土土体的残余应力强度。

（5）未受到损伤部分滑带土土体应力—应变关系服从广义虎克定律，即

τ^'₁ =Gr'₁（4）

式（4）中，G为滑带土土体的剪切模量；τ^'₁为未受到损伤部分滑带土土体剪切应变。

结合式（2）可以看出，当滑带土土体处于完全破坏状态时，可以得到滑带土土体的水平残余抗剪强度τ₁= 它不随变形的增加而变化。因此式（2）所建立的统计损伤模型更能突出滑带土土体在受到反复多次的剪切破坏作用时，滑带土土体本身剪切强度的累积衰减本构关系，但为了建立该损伤本构模型，首先应该找到其中水平残余抗剪强度 损伤变量百分比D数值的确定方法。

由于滑带土土体材料是由已受到损伤部分和未受到损伤部分的材料共同组成的，它们彼此紧密地混合在一起，根据假设（3）和变形协调原理，可以得到公式（ 5 ），其中r_i为滑带土土体在发生剪切破坏时整体的剪切应变，r ^r₁为受到损伤部分滑带土土体的剪切应变。

r_i =r^'₁ =r ^r₁（5）

结合摩尔库伦准则得到:

τ₁ =σtanφ + C（6）

式（6）中：C为滑带土土体处于极限平衡状态时的内粘聚力。

本文提出的微振动作用下滑带土土体剪切强度衰减的累积损伤本构模型的关键是合理地测量滑带土土体的微观单元强度。为此，通过引入文献[23]和[24]的思想，建立了测量岩石微元素强度F的方法，其表达式如下：

F=τ^'₁ - τ^r₁（7）

结合式（7）和式（4）得到滑带土土体微元强度F，如式（8）所示。

F=G_nr₁ - τ^r₁（8）

式（8）是测量滑带土土体材料微单元强度的方法。其中假设滑带土土体不仅考虑了损伤阈值的影响，其微元强度也服从Weibull分布，则滑带土土体材料的抗剪强度的统计损伤演化模型如式（9）所示。

式（9）中m和F₀为滑带土土体微单元强度F的Weibull分布参数。因此，结合式（8）和式（9），可以得到剪切试验条件下的统计损伤本构模型，用于模拟滑带土材料剪切强度的累积损伤。

在反复多次微振动累积荷载的作用下，滑带土土体材料的抗剪强度逐渐减小，表现在剪应力以及剪应变曲线上的变化是剪切模量逐渐变小，即可将剪切模量作为滑带土土体材料内部损伤的基本判别标准。定义其损伤变量为

式（1 0）中， G ₀ ， G_n分别为在受到累积微振动荷载前和n次微振动荷载之后，滑带土土体材料的剪切模量。[8]和[25]中的观点，不同次数微振动荷载和直剪试验的正应力荷载均可以使滑带土的抗剪强度降低，故将两种荷载导致的滑带土的抗剪强度的损伤进行耦合分析，即得到两种荷载总的损伤变量表达式，如式（11）所示。

D_m =D + D_n - DD_n（11）

结合式（9）、式（10）和式（11），得到不同次数的微振动荷载和剪切荷载，耦合作用后滑带土土体材料的损伤变量总演化方程，如式（12）所示。

由式（2）、式（4）和式（11）可得到受反复多次微振动的滑带土土体材料微元强度服从Weibull分布，引入微振动荷载累积损伤变量，建立了满足Mohr-Coulomb准则的滑带土土体材料剪切强度衰减累积损伤本构模型，如式（13）所示。

τ^'₁ =G_nr_i (1 - D_m)+ τ^r₁ D_m（13）

结合式（3）和式（13），可以得到在主应力状态下，反复多次微振动作用的滑带土土体材料损伤本构方程，如式（14）所示，其可用于模拟滑带土土体材料剪切强度的累积损伤。并且模型参数m和F₀的确定是模型建立中的关键问题之一。

为了验证理论模型的合理性，结合不同加载强度和加载时间下滑带土土体的峰值粘聚力和摩擦角数据，可以得到滑带土土体材料剪切强度随加载时间和加载强度变化的衰减本构模型，本文引用吴廷尧^[26]通过微振动作用下滑带土抗剪强度的劣化规律试验的相关研究成果，来对本文提出的关于考虑微振动荷载累积损伤变量的滑带土统计损伤本构模型的合理性进行验证。表1显示了不同法向应力和加载时间下累积剪切强度损伤理论预测模型的参数值。通过振动台模型试验得到的滑带土剪应力实测值与理论模型预测值进行比较，如图2所示。

由图2可以看出：（1）通过试验数据与理论曲线的比较，可以看出试验结果与理论结果吻合较好。理论模型的预测结果能反映滑带土土体随法向应力和加载时间的衰减趋势。结果表明，考虑水平剪应力残余应力强度的损伤本构模型能充分反映滑带土的衰减变化，同时引入微振动荷载累积损伤变量，建立的满足Mohr-Coulomb准则的滑带土材料剪切强度衰减累积损伤本构模型，能够更好的反映不同微振动参数下，滑带土材料剪切破坏的全应变过程，在相同的微振动加载情况下，滑带土土体的剪应力值随着加载时间的增加而逐渐减小，说明随着加载时间的增加，滑带土土体的抗剪切能力在逐步降低，但随着围岩压力的增加，滑带土的抗剪强度也逐渐增大，说明随着滑带土材料初始应力的增加，滑带土材料的抗剪切破坏的能力在增加，围岩压力越大，滑带土材料越不容易被剪切破坏。

（2）根据岩石屈服的概念，采用极值法确定滑带土土体剪应力预测模型的参数，适用于不同加载参数和围压下的加载试验数据的求解。同时，目前国内外学者大多采用不同强度屈服准则对岩土统计损伤本构模型进行研究，忽略了软岩或结构面反复微振动引起的累积损伤。然而，本文的研究思路具有较大的优势，一方面不含非常规岩石力学参数，对工程应用更为保守。另一方面，在统计模型中考虑了反复多次的微振动的累积效应，较好地反映了累积振动载荷对岩土体统计损伤本构模型的影响。

表1 不同法向应力和加载时间下滑带土土体材料剪切强度累积损伤模型参数值Table 1 Parameter values of cumulative damage model of shear strength for soil in sliding zone under different normal stresses and loading time

基于验证后的滑带土土体剪切强度衰减累积损伤本构模型，结合滑带土土体材料破坏全过程的总损伤演化方程式（26），可得到不同微振动参数作用下滑带土材料损伤力学特性变化规律，如图3所示。

由图3可以看出，反复多次的微振动荷载和直剪试验的正应力荷载耦合作用下，滑带土土体的损伤呈S型变化，其在相同振动强度和围压的情况下，随着微振动加载时间的增加，滑带土材料的初始损伤值在逐渐增加，并且随着微振动加载时间的增加，滑带土土体在正应力加载情况下，其损伤值增加的幅度在减小，且微振动加载时间在180 s和240 s时，两者之间的损伤值变化相差不大，说明随着微振动加载时间的增加，滑带土土体越难发生损伤，且滑带土土体在加载时间较小时，反复多次的微振动荷载和直剪试验的正应力荷载的耦合作用，更容易使得滑带土土体发生破坏。同时滑带土土体围压的增加，使得滑带土土体的初始损伤值在减小，且随着剪切应变的增加，其应变损伤破坏过程在减缓，说明滑带土土体围压的增加，可以提高滑带土材料的抗剪切性能，能够减小材料损伤破坏时的塑性区体积，故而能够提高含滑带土边坡的安全系数。

图2 剪应力实测值与理论模型预测值的比较Fig.2 Comparison of measured shear stress and predicted value by theoretical model

当微振动次数为180 s和240 s时，二者之间的损伤率变化不明显，说明随着微振动次数的增加，滑带土进一步破坏的难度加大，也就是说，微振动次数较小时，滑带土的耦合效应减弱，微振动荷载和正应力荷载的直剪试验更容易引起滑带土的破坏。同时从图3也可以看出，随着断滑带土正应力的增大，滑带土的初始损伤百分数逐渐减小，说明滑带土围压的增大可以提高滑带土的抗剪能力，减小微地震作用下滑带土的塑性区体积，最终提高滑带土的抗剪强度参数。

基于已验证的描述滑带土土体抗剪强度衰减的累积损伤本构模型，结合计算滑带土土体损伤变化率的公式，可以得到不同微振动次数下滑带土土体损伤变化率的演化规律，如图4所示。

由图4可以看出，剪切试验中微振动荷载与正应力荷载的耦合作用并没有改变损伤变化率曲线的形状，在一定的微振动次数下，滑带土土体的损伤变化率先增大，达到峰值，然后随着剪切应变的增大而减小。由图4还可以看出，在滑带土土体变形初期，滑带土土体中少量强度较低的微量元素首先被破坏，而在滑带土土体变形中期，滑带土土体中大量微量元素被破坏，在此阶段，滑带土土体的抗剪强度达到抗剪强度的峰值，在此阶段滑带土土体的宏观破坏特征最为明显。而在滑带土土体变形后期，有少量高抗剪强度的微单元继续承受剪切变形。

图3 不同微振动参数下滑带土土体损伤演化曲线Fig.3 Damage evolution curve of sliding zone soil under different microseismic vibration parameters

图4 不同围岩应力作用下的滑带土土体的损伤演化率Fig.4 Damage evolution rate of sliding zone soil under different surrounding rock stresses

随着微振动次数的增加或剪切试验法向应力的增加，滑带土土体损伤变化率曲线的峰值逐渐减小，达到上述峰值后，描述滑带土土体损伤变化率曲线的斜率变缓，损伤变化率曲线峰值对应的应变值增大，进一步表明随着微振动次数的增加，滑带土土体内部塑性增强，延性破坏特征越来越明显。