传统的静力学分析方法，结构的位移响应与结构所受外荷载和结构的刚度矩阵相关，有以下平衡方程：

KU=F（1）

式（1）中：K为结构刚度矩阵；U为位移向量；F为荷载向量。

而根据动力学理论，结构在实际施工中往往处于一个缓慢运动的动态平衡过程，通过引入惯性力和阻尼力，可建立如下动力平衡方程^[12]：

MÜ+ CU̇+ KU=F（2）

式（2）中：M为结构的质量矩阵；C为瑞利阻尼矩阵；K为结构刚度矩阵；U、U̇和Ü分别为位移向量、速度向量和加速度向量；F为荷载向量。

以i-1阶段为上一状态，以i阶段为当前态，在结构施工过程中，存在构件的增加和删减（如临时支撑的拆除）、边界条件变化以及外荷载的变化，这将导致结构的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵发生变化：

K_i =K_{i - 1} + K ⁽¹⁾i - K ⁽²⁾i（3）

M_i =M_{i - 1} + M ⁽¹⁾i - M ⁽²⁾i（4）

C_i =C_{i - 1} + C⁽¹⁾i - C⁽²⁾i（5）

上式中：K_i为当前态的整体刚度矩阵，K_{i - 1}为上一状态的整体刚度矩阵，K ⁽¹⁾i 为新增构件的单元矩阵对总刚度矩阵的贡献，K⁽²⁾i 为拆除构件对总刚度矩阵的贡献。同理，M_i和M_{i - 1}分别为当前态和上一状态的整体质量矩阵，M⁽¹⁾i 和M⁽²⁾i 分别新增构件和拆除构件的单元矩阵对总质量矩阵的贡献；C_i和C_{i - 1}分别为当前态和上一状态的整体阻尼矩阵， C⁽¹⁾i 和C⁽²⁾i 分别新增构件和拆除构件的单元矩阵对总阻尼矩阵的贡献。

与此同时，结构的位移和荷载向量也会随施工过程发生变化（式5、6）。因此可以采用增量迭代的方法进行求解^[13] ，以i-1阶段为上一状态，以i阶段当前态，即可考虑施工过程中的结构变形和内力响应，并建立两个状态下的动力平衡方程：

上式中：U_i为当前态的位移向量，U_{i - 1}为上一状态的位移向量，ΔU ⁽¹⁾i 为新增构件对位移向量的贡献， ΔU⁽²⁾i 为拆除构件对位移向量的贡献，ΔU⁽³⁾i 边界条件变化对位移向量的贡献，U ⁽¹⁾i 为新增构件的位移向量，U⁽²⁾i 为拆除构件自由节点的位移向量且U ⁽²⁾i ={ }0 ，F_i为当前态的荷载向量，F_{i - 1}为上一状态的荷载向量，ΔF ⁽²⁾i 为拆除构件对荷载向量的贡献，ΔF ^{( 4)}i 为荷载条件变化对荷载向量的贡献，F ⁽¹⁾i为新增构件的荷载向量，F⁽²⁾i 为拆除构件自由节点的荷载向量。

在时变动力学问题中，结构的惯性力和阻尼力引入了时间因素，并与结构施工过程中的几何因素、物理因素、边界因素等发生耦联^[14]，因此，通过设置与结构施工过程一致的分析时长T，并随施工过程增删构件和调整边界条件，可使时变结构在施工过程任一时刻均处于与实际施工相符的动态平衡状态。

基于慢速时变动力学的动态施工过程分析方法通过设置与实际施工动态过程相一致的分析时长，引入惯性力和阻尼力，以考虑时变过程的动力效应，并进行动力学求解，实现对时变结构真正意义上的施工全过程精细化分析。

该方法将空间结构施工过程划分为若干关键施工阶段，并沿施工过程变化轨迹建立综合有限元分析模型，以此进行施工全过程的非线性动力时程分析。具体实施步骤如下：

（1）根据结构施工过程，划分为n个施工阶段。明确结构施工起始态（施工阶段i=1）及终态（施工阶段i=n），并根据施工过程中各施工阶段的结构变化轨迹建立包含起始态、中间态以及终态的综合有限元分析模型。

（2）从起始态模型（施工阶段i=1）开始，根据实际施工情况设置其边界条件，施加相应的施工荷载，并按实际施工过程设置该阶段的分析时长T₁进行求解。

（3）施工阶段1求解完成后，继续进行下一施工阶段2的求解。在起始态模型的基础上形成该阶段中间态模型，类似地，根据该阶段的实际施工情况，设置边界条件，施加施工荷载，并按实际施工过程设置该阶段分析时长T₂，进行求解。

（4）重复步骤（3）的求解过程，直至施工全过程分析完毕，并输出分析结果。分析流程图见图1。

图1 基于慢速时变动力学的动态施工过程分析方法流程图Fig.1 Flow chart of dynamic construction process analysis method based on slow time-varying dynamics

基于慢速时变动力学的动态施工过程分析方法（以下简称本文方法），其关键点如下：

（1）与常规分步建模法不同的是，在建立施工过程分析模型时，由于某些施工阶段可能存在大变形、大位移（包括机构位移、超大位移）等复杂过程，本文方法所建立的有限元模型是考虑施工过程复杂变化轨迹的综合有限元模型；

（2）传统静力施工过程分析方法中人为地把施工过程划分为若干静止状态（各施工阶段），将时变动力学问题转化为静力学问题进行分析，且仅能获取相应施工阶段的分析结果，而本文方法基于慢速时变动力学理论，采用动力学求解方法，可模拟结构连续动态的实际施工过程，并获取施工过程中任意时刻的结构变形和内力响应结果；

（3）本文方法通过引入惯性力和阻尼力，建立结构施工过程的动力平衡方程，并设置与实际施工过程一致的分析时长，能更准确地反映实际施工过程中结构响应的动态累积效应；

（4）本文方法除考虑常规的构件增删、荷载与边界条件变化外，还适用于强非线性的复杂施工过程分析（大变形、超大位移、机构位移等），从而避免了传统静力施工过程分析方法中非线性求解的收敛性难题。

某商业广场为大跨复杂斜交连体结构，主体塔楼A、 B为混凝土框—剪结构，平面尺寸分别为99.8 m×103.6 m、63.2 m×103.6 m，地上均为8层并于7层竖向收进，层高为5.3 m+4.2×7 m。两塔楼相距约60 m，分别在三层和六、七层设置了钢桁架连廊，其中三层连廊跨度77.9 m，宽度17 m，六、七层连廊跨度86.4 m，宽度20.5 m，如图2和图3所示。

图2 主体结构布置图Fig.2 Main structure layout

图3 大跨斜交连廊结构Fig.3 Long-span oblique corridor structure

经方案比选，连廊结构采用新型竖向转体与整体提升法进行施工安装。因受到A、B塔楼结构布置影响，斜交连廊两端少部分嵌入主体结构中，无法在地面整体拼装完后提升，故将连廊划分为两大部分：两端的预装段和中间的提升段。主体塔楼结构施工完成后先进行端部预装段的施工，然后在地面拼装中间提升段，待提升至设计高度后与预装部分对接。

由于连廊结构正下方区域为既有地铁线路，地铁保护区施工荷载需严格控制在20 kN/m²以下，因此，在施工时连廊两侧主桁架采用先卧拼后竖转的方式进行安装，桁架上弦位置利用液压提升器向上提升，桁架下弦位置利用液压顶推爬行器沿水平方向在轨道上滑移，通过提升和顶推使得桁架实现90°的竖向转体。

以三层连廊为例，其施工全过程如图4所示。根据该连廊结构实际施工过程，将其划分为8个施工阶段（见表1）。其中，中间提升段需经历桁架卧拼（阶段1）、桁架升脱离拼装胎架（阶段2）、桁架竖转90^o（阶段3），桁架间构件补装形成完整的提升段（阶段4）和提升段整体提升（阶段5）的过程。在提升到位后，与预装段合龙形成整体结构（阶段6），随后进行结构卸载（阶段7），拆除提升装置及相关设施，并补装剩余构件完成施工（阶段8）。现采用本文方法对其进行施工全过程分析。

图4 各阶段施工示意图Fig.4 Construction at each stage

表1 大跨斜交连廊施工阶段Table 1 Construction stages of long-span oblique corridor

依据上述提升施工全过程建立综合分析模型，如图5所示，在此基础上，形成各关键施工阶段有限元模型见图6所示。

图5 综合有限元分析模型Fig.5 Comprehensive finite element analysis model

在整个施工过程中，两侧主桁架的竖向转体（施工阶段3）和连廊提升段的整体提升（施工阶段5）这两个阶段最为重要，也是施工过程模拟的关键。

桁架的竖转过程是一个由施工阶段2到施工阶段3转变的连续而缓慢（实际施工时长近1小时）的转体过程，其施工工艺见图7。在分析该过程时，根据实际施工时长设置相应的分析时间步长，采用对提升索单元顶端施加竖直向上的位移并对桁架下弦施加水平侧向位移，来模拟实际施工中通过液压提升器和液压顶推爬行器对桁架实施竖转的过程。

在两侧桁架完成竖转和桁架间连接杆件的补装后，对连廊提升段进行整体提升9.1 m至设计位置并与连廊预装段对接合龙（施工阶段5至施工阶段6），其施工工艺见图8。根据实际施工的提升速度（约2小时）设置该施工过程的分析时长，采用对提升索单元顶端施加竖直向上的位移来模拟整体提升过程。

图6 各施工阶段有限元模型Fig.6 Finite element model at each construction stage

图7 连廊桁架竖转施工工艺Fig.7 Vertical rotation construction technology of corridor truss

在施工期间对该结构变形和应力应变进行了监测，选取变形和应力应变的关键测点见图9和图 10。其中每个应力应变测点布置了4个传感器，分别位于杆件箱型截面的四个侧面（见图 11），图中应力应变测点的编号“1”表示截面上表面，“2”表示下表面，“3”表示外侧面（连廊外部），“4”表示内侧面（连廊内部），方位编号均为桁架竖正状态。

图8 连廊提升段提升施工工艺Fig.8 Lifting construction technology of corridor lifting section

图9 变形测点布置图Fig.9 Layout of deformation measuring points

图 10 应力应变测点布置图Fig.10 Layout of stress and strain measuring points

图 11 截面应力应变测点编号示意图Fig.11 Number of sectional stress and strain measuring points

采用本文方法对该大跨连廊结构整体提升施工全过程进行模拟，提取上述变形测点和应力应变测点的施工全过程时程曲线，如图 12和图 13所示。各变形和应力测点的包络值见表2和表3。其中图 12的结构变形数据中，“连廊合龙”前的竖向变形值是指测点相对于桁架提升段两侧顶升点处的竖向坐标差，而在连廊合龙后的数据是指测点相对于连廊两端支座的竖向坐标差；正值表示向上，负值表示向下。

图 12 施工全过程变形时程曲线Fig.12 Deformation time history curves of whole construction process

图 13 施工全过程应力时程曲线Fig.13 Stress time history curves of whole construction process

由竖向变形和应力的时程曲线可见，在桁架顶升脱离胎架阶段的结构变形和应力开始显著增大，这是由于桁架脱离胎架后支撑点数量大幅减小所致，并在桁架开始竖转时达到峰值。桁架由水平转向竖直状态过程中，变形和应力逐步减小，这是由于桁架在由平躺向竖直状态转动时结构竖向刚度不断增大，使得变形和应力相应减小。而在之后的施工过程中，结构的变形和应力均呈缓慢增大趋势，但最大值均未超过前期阶段的峰值。另一方面，施工全过程中，因存在起止加、减速作用，使得结构的变形和应力出现一定程度的波动。

表2 施工过程测点变形包络值Table 2 Deformation envelope values of measuring points during construction

表3 施工过程测点应力包络值Table 3 Stress envelope values of measuring points during construction

在获取结构测点施工全过程变形和应力时程曲线的基础上，提取关键施工阶段的变形和应力数据，并与传统方法和监测数据进行对比，结构竖向变形结果见图 14，杆件截面应力结果见图 15、图 16，其中8个关键施工状态按施工过程顺序分别为：桁架卧拼完成顶升前、桁架顶升完成、桁架竖转90°、提升段提升前、提升段提升到位并与预装段合龙形成整体、结构卸载前、结构卸载50%、结构卸载后补充剩余构件。

图 14 不同分析方法的结构变形值与监测数据对比Fig.14 Comparison of structural deformation values of different analysis methods and monitoring data

由图 14可见：

（1）桁架卧拼时结构的竖向刚度较小，顶升脱离胎架后，单榀桁架的支点仅剩上弦和下弦四个支撑点，此时其变形值远远超过其他状态下的变形值，采用本文方法得到的在8个关键施工状态中桁架HJ1的最大竖向变形为-291 mm，桁架HJ2的最大竖向变形为-261 mm，与工程实测结果-264 mm （HJ1）和-258 mm（HJ2）基本吻合；

（2）桁架竖转完成至提升段提升这一阶段，桁架通过中间杆件连接形成一个整体，且桁架变为正常受力的竖正状态，其变形相对变化较小，实测值和分析值的最大值均不足10 mm；

（3）卸载阶段，连廊桁架形成整体结构，产生了一定量的竖向变形（相对于连廊两端支座），采用本文分析方法得到的桁架HJ1最大竖向变形为-54 mm，桁架HJ2则为-43 mm，与工程实测结果-52 mm（HJ1）和-43 mm（HJ2）吻合度较高。

由图 15和图 16可见：

（1）在顶升和竖转过程中，测点1、2号面应力值缓慢增加，本文方法分析得到的应力值变化趋势与工程实测值变化趋势保持一致；

图 15 不同方法下桁架HJ1测点应力值与监测数据对比Fig.15 Comparison of stress values of different analysis methods and monitoring data for truss measuring point HJ1

图 16 不同方法下桁架HJ2测点应力值与监测数据对比Fig.16 Comparison of stress values of different analysis methods and monitoring data for truss measuring point HJ2

（2）竖转阶段，连廊桁架3、4号面（桁架处于水平状态时，杆件的上、下表面）的应力大体呈现先增加后减小的趋势，桁架上下弦杆截面内力发生重分布，这与本文方法得到的应力值变化趋势一致，且本文方法得到的在8个关键施工状态中的应力最大值为59.2 MPa，与工程实测的应力最大值62.8 MPa吻合良好。竖转完成后桁架的测点应力则均处于低应力水平，分析结果与实测结果一致；（3）提升阶段，连廊桁架测点应力轻微波动，个别测点应力有所增加，总体上该阶段两桁架的测点应力均处于低应力水平，其中分析应力最大值为-16.1 MPa，对应实测应力最大值为-21.6 MPa，大部分测点的实测值和分析值均不超过-20 MPa；

（4）提升完成至卸载前，连廊桁架测点应力无明显变化，个别测点应力有所增加；

（5）卸载过程中，连廊测点应力逐渐增加，分析值与实测值的增加趋势一致，其中分析应力最大值为-50 MPa，对应实测最大应力值为-56.2 MPa，两者较为吻合，总体而言测点应力均处于较低应力水平。

通过对本文方法、传统方法的分析结果以及实际监测数据进行比对，发现三组数据的变形和应力变化趋势保持一致，因此得出以下结论：

（1）采用本文方法对复杂结构施工过程进行分析，其分析结果与传统方法较为吻合，且由于本文方法考虑了施工过程中结构受力与变形的动态累积效应，其结果总体上比传统方法更加符合实际；

（2）由于本文方法设置了与实际施工过程相一致的分析时长，且分析时是一个连续的动态过程，因此，能够得到施工过程中任意时刻的结构受力和变形情况，可更好地反映实际的施工全过程，从而对施工提供精准指导。