基于生长空间限定与并行搜索的模拟植物生长算法（GSL&PS-PGSA）^[8]依据PGSA的基本原理提出，其在原始PGSA算法的基础上引入了可生长点集合限定机制、混合步长并行搜索机制及新增可生长点提剔除机制，较好地改良了PGSA的优化求解能力。

基于 PGSA 的基本原理，作者提出改进GSL&PS-PGSA算法^[9]。相比于GSL&PS-PGSA算法，其基本原理及特征如下：

（1）提出双生长点并行生长机制，从而解决PGSA系列算法搜索路径有限，搜索覆盖面不够全面，易陷入局部最优解等问题；

（2）针对PGSA算法因初始解不满足约束条件导致优化无法稳定运行的问题，引入迭代稳定性判断机制；

（3）在已有生长搜索机制^[17]的基础上，引入具有双重随机性增强型随机多向搜索机制，从而综合考虑了更多难以涉及的设计变量组合，增强了变量间的耦合关系，提高了算法的寻优能力。

基于改进GSL&PS-PGSA的桁架结构优化数学模型可表示为：

寻找 x=( x ₁, x ₂,…, x_n )

min f ( x )

s.t. g_i ( x )≤0, i=( 1, 2,…, m )（1）

h_i ( x )≤0 , i=( m + 1, m + 2 ,…, p )

x_{i, min}≤x_i≤x_{i, max}, i=( 1, 2,…n )

式（1）中， x为设计变量集合， x_i为设计变量， n为设计变量数目； f ( x )为优化目标函数； g_i ( x )、h_i ( x )分别为优化的不等式、等式约束条件，m、p-m为其对应条件数目； x_{i, min}、 x_{i, max}分别为设计变量的下、上限。

选取文献[8]中的经典十杆平面桁架，对其截面进行优化。十杆平面桁架结构如图1所示，共有6个节点，10根杆件。杆件材性、荷载工况及杆件的许用截面库均与文献[8]一致。

图1 十杆平面桁架Fig.1 Ten-bar plan truss

采用改进GSL&PS-PGSA对上述结构进行截面优化，优化目标为求结构总质量最小，设计变量为各杆件的截面编号，约束条件为节点位移限值、杆件许用应力限值及杆件截面号范围。其余优化初始设置等均与文献[8]一致。

两种算法对应的优化过程对比如图2所示，所得结果均满足优化问题的约束条件。

由图2可知，从整个优化历程来看，改进GSL&PS-PGSA始终以较快的速度向最优解逼近，而GSL&PS-PGSA在优化中期显得有所乏力。在寻优能力上，改进GSL&PS-PGSA搜索到最优解所需生长次数比GSL&PS-PGSA少43.8%，且所得结果更优。由此可见，改进GSL&PS-PGSA具更为强劲的搜索效率及全局搜索能力。

改进GSL&PS-PGSA与其他方法所得优化结果对比如表1所示。

图2 十杆平面桁架截面优化过程Fig.2 Section optimization process of 10-bar plan truss

表1 截面优化结果对比Table 1 Comparison of section optimization results

由表1可知，相比二级优化法、相对差商法及连续变量法所得优化结果，改进GSL&PS-PGSA所得结果较其减少了8%～15%的用钢量，而与其他改进PGSA所得优化结果相比，本文所得优化结果同样优秀。因此，改进GSL&PS-PGSA的优化效果更加显著，其全局搜索能力更为卓越。

选取文献[2]中的二十五杆空间桁架为对象，对其进行截面优化和形状优化，初始结构模型如图3所示。荷载工况、约束条件、截面库、杆件编号、截面设计变量（表2）、形状优化设计变量（表3）等均与文献[2]一致。

图3 二十五杆空间桁架Fig.3 25-bar space truss

采用改进GSL&PS-PGSA算法进行截面优化及形状优化，优化目标为求结构总质量的最小值。

表2 杆件编号及截面设计变量Table 2 Numbering and grouping of members

表3 形状设计变量Table 3 Shape design variables

截面优化过程如图4所示。从整个优化历程来看，改进GSL&PS-PGSA前期跳出局部最优解的速度较快，中期结构总质量迅速下降，表明算法的搜索效率高，寻优能力出色。迭代最终收敛于第160次，对应最优解为259.183 kg。优化后，结构的位移、应力等均满足要求。

改进GSL&PS-PGSA与其他方法的优化结果对比如表4所示。由表4可知，本文方法所得优化结果分别较初始结构、序列两级算法及蚁群算法轻约12.1%、8.1%及3.6%。由此表明，改进GSL&PS-PGSA的优化效果在空间桁架截面优化领域优化效果显著。

图4 二十五杆空间桁架截面优化过程Fig.4 Section optimization process of 25-bar space truss

表4 二十五杆空间桁架截面优化结果对比Table 4 Comparison of section optimization results of 25-bar space truss

对二十五杆空间桁架进一步进行形状优化（形状与截面组合优化），其优化过程如图5所示，所得结果均满足优化问题的约束条件。

如图5所示，优化前期，结构总质量下降较快，迭代生长达到400次左右，基本锁定了最优解的范围，优化中后期结构总质量下降较缓。迭代生长至900次左右，优化基本收敛，最终优化结果对应结构总质量为59.999 kg。

优化后的结构如图6所示，与文献[2]相似，为一形效结构，传力路径明确。最终结构的节点最大位移为6.96 mm，个别杆件应力接近限值，其余杆件应力还有富于，总体均在限值范围内，满足约束条件，优化结果合理可行。

本文方法与其他方法所得优化结果对比如表5所示。由表5可以看出，本文所得优化结果比初始结构轻约79.7%，相比序列两级算法，本文结果较其减轻了约31.2%，相比蚁群算法，本文所得优化结果同样优秀，结构质量较其减轻了约22.4%。另外，相比于单一截面优化，形状优化（截面与形状组合优化）能够大幅度减轻结构质量，设计者可根据需要选取合适的优化类型。

图5 二十五杆空间桁架形状优化过程Fig.5 Shape optimization process of 25-bar space truss

综上表明，本文优化方法能够有效地考虑了设计变量间的耦合关系，其对桁架结构截面优化及形状优化问题具有良好的适用性。

图6 形状优化前后的结构Fig.6 Structures before and after shape optimization

表5 二十五杆空间桁架优化结果对比Table 5 Comparison of optimization results of 25-bar space truss