通过模态分析可以得到结构在各阵型下的频率和周期等动力学参数。分析过程中，框架-核心筒结构的质量源均采用1.0倍恒荷加0.5倍活荷，设置10个模态，取前三阶分析结果，如表1所示。由模态分析结果知，RC框架-核心筒结构的第一周期为2.65 s，UHPC框架-核心筒结构的第一周期为2.47 s，UHPC的应用使框架-核心筒结构的自振周期降低了6.79%。

表1 模态分析结果Table 1 Results of modal analysis

地震动的选取对地震易损性分析结果有较大的影响。因此，在选取地震波时应综合考虑结构的动力特性和地震波三要素的影响。结构的设计特征周期为0.35 s，罕遇地震情况下增至0.05 s，因此取特征周期T_g为0.4 s。从PEER选取30条地震波，地震波反应谱及相关信息如图5和表3所示。

图5 地震动反应谱Fig.5 Response spectrum of ground motion

在IDA分析中，合理地选择地震动强度指标（IM）和结构损伤指标（DM）尤为重要。常用的IM包括：峰值速度PGV、峰值加速度PGA、对应于第一周期的谱加速度S（a T₁）等，常用的DM包括：最大层间位移角θ_max、基地剪力V等。相关研究表明，以S（a T₁）和θ_max为指标对结构进行IDA分析可以在较小的离散性下充分体现结构的抗震性能^[14-15]。因此，本文选择S（a T₁）作为地震动强度指标、选择θ_max作为结构损伤指标。

IDA分析中，需对选取的地震波（强度为a₁）进行多次调幅，以得到多条不同幅值的地震波（强度为a_i）集合（a_i=a₁λ_i，其中λ_i为幅值系数）。本文通过Hunt&Fill准则计算幅值系数λ_i，计算过程主要分为两部分：（a）通过Hunt过程进行侧向倒塌点的搜索；（b）通过Fill过程保证IDA曲线的光滑，并对曲线中间距较大的两点进行补充分析。相比其他计算方法，Hunt&fill准则具有更加高效简便的特点，能全面地计算出λ_i值。

表3 震波记录Table 3 Seismic wave records

FEMA^[16]将结构的性能状态划分为轻微损伤、中等损伤、严重损伤和接近倒塌四个阶段，并给出了相应的层间位移角限值，如表4所示。本文采用此性能指标对结构进行分析。

表4 不同性能状态下的最大层间位移角限值Table 4 Maximum inter-storey displacement angle limits under different performance states

选取一条地震波Chi-Chi对UHPC框架-核心筒结构进行弹塑性时程分析，该地震波的加速度时程曲线如图6所示。沿x方向输入单向地震波，通过多次调幅进行结构的IDA分析。由表1可知， UHPC框架-核心筒结构的基本自振周期T＝2.466 s，地震波的调幅过程及计算结果如表5所示。将结构的最大响应点依次相连便得到一条IDA曲线，如图7所示。单条IDA曲线体现了结构在地震动作用下从弹性阶段发展到弹塑性阶段、并最终倒塌的整个过程。

将选取的30条地震波输入到UHPC框架-核心筒结构模型中，进行IDA分析，结果如图8所示。由图可知，IDA曲线簇显得比较离散，但曲线的发展趋势一致。地震强度较小时，曲线斜率较大，之后随着地震强度的增大而缓慢下降，体现了结构在地震过程中从弹性阶段到倒塌状态的全过程。

图6 加速度时程曲线Fig.6 Acceleration time history curve

为降低IDA分析结果的离散性，需对曲线簇进行处理。结构的IDA曲线中的IM值和DM值都服从对数正态分布^[17-18]。因此，在相同S（a T₁）下可找出一组对应的θ_max，依次求出θ_max的均值μ_θ和对数标准差σ _{l n θ} ，统计出一系列点（μ_θ ，S （a T ₁ ）），（ μ_θe^σ _{l n θ} ， S _a（T ₁ ））和（μ_θe^-σ _{l n θ} ，S _a（T ₁ ）），分别连线得到5 0 % 、84%和16%的分位数曲线，见图9。由图可以确定各极限状态点及其对应的地震动强度参数，如表6所示。图9和表6中曲线和数据的变化体现了结构在地震动作用下从弹性阶段发展到弹塑性阶段、并最终倒塌的整个过程。

表5 地震波调幅过程Table 5 Amplitude modulation process of seismic waves

图7 IDA曲线Fig.7 IDA curve

图8 IDA曲线簇Fig.8 IDA curve cluster

图9 IDA分位曲线Fig.9 IDA quantile curve

表6 各极限状态点及地震动强度参数Table 6 Limit state points and ground motion intensity parameters

结构易损性是指其在不同强度参数IM的地震动作用下，结构地震需求D大于结构抗震能力C的概率，是结构本身的一种特性，可表示为：

P_f =P ( C/D≤1)（1）

地震动强度参数DM和结构损伤参数IM之间服从幂指数关系^[19]：

DM=a ( IM )^b（2）

本文选用的地震动强度指标和结构损伤参数指标分别为层间位移角θ _{m a x}和谱加速度S_a （ T ₁ ），代入式（2）并对等式两边取对数得：

对IDA曲线簇上的数据进行对数线性回归，以lnS_a ( T ₁ )为横坐标和以ln ( θ _max )为纵坐标绘制回归线，如图 10所示。

建立概率模型，得到结构需求的公式为：

图 10 对数线性回归曲线Fig.10 Log-linear regression curve

假定结构的抗震能力C和地震需求D均服从对数正态分布，推导出某一极限状态下的结构的易损性为：

式中，Φ（）表示标准正态分布函数； ͂和 ͂分别为结构抗震能力参数均值和结构需求参数均值；β_c和β_d均为对数标准差， FEMA350中指出，当易损性概率的自变量为结构基本周期对应5%阻尼比的谱加速度值时， 可取0.4。

将式（4）代入式（5）可得，可得结构在特定极限状态下结构失效概率，为：

将轻微损伤极限状态θ_c=0.002、中等损伤极限状态θ_c=0.005、严重损伤极限状态θ_c=0.015和接近倒塌极限状态θ_c=0 . 0 4分别代入公式（6），得到4种极限状态下结构失效概率公式为：

根据式（7）~式（10），绘制4种极限状态下UHPC框架-核心筒结构的易损性曲线，如图 11所示。由图可看出，罕遇地震作用下，UHPC框架-核心筒结构超越轻微损伤、中等损伤、严重损伤和接近倒塌状态的概率分别为99.48%、 60.75%、0.67%和0.01%。而相关研究表明，在与设防烈度对应的罕遇地震作用下结构倒塌的概率小于5%时，可认为该结构已达到抗倒塌性能要求^[20]。可以看出，UHPC框架-核心筒结构具有较强的抗倒塌能力，满足“大震不倒”的抗震设防目标。

图 11 易损性曲线Fig.11 Vulnerability curve

采用抗倒塌安全储备系数（CMR）^[21]对结构的抗倒塌能力进行量化评估，CMR为结构在50%的地震动作用对应的S （a T ₁）与结构在罕遇地震对应的S _a （T₁）的比值。由结果可得： S_a（T₁）_50%=1.11 g、 S_a （T₁）大震=0.22 g，则UHPC框架-核心筒结构的CMR约为5.05，符合规范^[18]要求。