图1为本文所采用的简化模型示意图，采用Timoshenko梁模拟路面结构，Pasternak剪切层模拟基层特性；土工合成材料采用线弹性模型模拟土工合成材料特性。

图1 简化模型
Fig.1 Simplified model

在路面上施加均布荷载q₀与一竖向集中荷载FS以模拟车辆荷载，同时在作用点处施加一水平荷载以模拟制动荷载。假设结构整体长为L，宽为B，路面结构厚度为H，上下基层厚度分别为h_t与h_b。如图所示，将路面、筋材及基层所占空间记为Ω_i(i=1，3，5，7)；将路面与基层、基层与筋材的接触界面分别记为Ω_j(j=2，4，6)；将软土地基记为Ω₈。

图2 局部坐标与节点
Fig.2 Local coordinates and the nodes

根据图1中的局部坐标，w为竖向位移(z方向)，u为水平位移(x方向)，θ为截面转角。可得路面结构中局部坐标(x₁，z₁)和上部基层中局部坐标(x₂，z₂)处的水平位移与竖向位移分别为:

由于土工格栅的厚度较小，筋材中横坐标处的水平位移和竖向位移分别为u₃₀(x₃)和w₂(x₃)。

下部基层中局部坐标为(x₄，z₄)处的水平位移与竖向位移分别为:

(3)

结合式(1)、(2)可以计算出路面与基层的相对滑移u_r1、筋材与上、下基层接触面间的相对滑移u_r2与u_r3，及下部基层与地基间的相对水平位移u_r4分别为:

根据文献^[13]可知，基层中的剪应力τ可以表示为:

(7)

式(7)中τ_m为基层极限剪力，G₀为初始剪切模量。

其中，剪切刚度G为关于剪切应变的一阶导数:

(8)

由参考文献^[14]中可知竖向反力公式如下:

(9)

式(9)中，k_s0为初始反力系数，q_f为地基极限承载力，w为竖向位移。由此可得其切向反力系数k_s:

(10)

对于层间摩阻力f，其公式为:

(11)

式(11)中，c_a为界面土体黏聚力，σ_n为界面正应力，δ为路面-基层界面及筋土界面摩擦角，u₀为临界相对滑移量，u为界面相对滑移。由于考虑了各层的轴向变形，界面相对滑移的值较小，假设界面相对滑移u保持在临界滑移值u₀内，并使各层间的水平摩阻系数(x=1~4)。由此可得:

f_x=k_xr_ux (12)

式(12)中，f₁为路面与基层间水平摩阻力，f₂、f₃为筋材与上、下基层间水平摩阻力，f₄为下部基层与地基间水平摩阻力。

路面与基层间的相互作用力F'计算如下为:

△w=w₁(x)-w₂(x) (13)

F'=k_w·△w (14)

式(14)中k_w接触面拉压刚度。结合以上公式，可列出虚功方程如下:

(15)

如图2所示，采用的有限元三次插值形式，并在数值运算时采用减缩积分法。L₀为单元长度，采用三次插值进行计算，得到插值函数如下:

(16)

将节点的位移向量Ψn(n=1~4)表示如下:

(17)

将式(17)合并后得到单元自由度向量:

(18)

根据图2可得，路面梁单元的水平位移、竖向位移以及截面转角形函数如下:

同理，基层单元的各形函数分别为:

筋材单元的水平位移形函数为:

(23)

下部基层单元的各位移和截面转角形函数为:

(24)

路面梁单元、上基层、下基层单元局部纵坐标分别为z₁，z₂、z₃的点水平位移形函数:

因此，其相对竖向位移形函数为:

(27)

同理，其应变形函数为:

(28)

式中N_ε1为路面结构内正应变，N_γ1为其剪应变；仅考虑基层中的剪切效应，N_γ2、N_γ4分别为上、下部基层中的剪应变；N_ε3为筋材应变。

由式(4)、(5)、(6)以及式(25)、(26)可得界面相对位移形函数:

(29)

(30)

上式为位移和应变的插值函数，上边h表示有限元近似，将公式离散后得到单元残值向量:

(31)

根据式(31)，可得单元切向刚度矩阵:

(32)

本文将计算模型退化为Winkler地基模型(如图3)，并将其计算结果与文献^[15]结果进行对比。由图4可知，划分结构20单元，即61节点计算得到的结果与文献^[20]相近，验证了本文计算模型的可靠性。

图3 Winkler地基上Timoshenko梁
Fig.3 Timoshenko beam on Winkler foundation

图4 挠度结果对比
Fig.4 Comparison of deflections for different cross-sectional positions

运用本文推导所得的模型对整体结构进行分析，初始参数值见表1。

表1 数值分析计算参数取值
Table 1 Values of parameters for numerical analysis

3.2.1 筋材参数的影响

图5给出了不同筋材基层间摩阻系数和抗拉模量的路面跨中挠度曲线。相比不加筋的情况，铺设筋材能够有效的减小跨中挠度。随着抗拉模量与摩阻系数的增大，其跨中截面挠度分别减小了22.75%和34.15%。这表明在基层中铺设土工合成材料可以有效地减小路面跨中界面挠度，增强基层抗变形能力。而采用抗拉模量较大的筋材并增大筋材与基层间的摩擦阻力，可以减小筋材与上、下基层接触面间的相对滑移，分散和抵消局部荷载，有效提高加筋路基的承载力。

图6给出了跨中作用1000 kN竖向荷载时筋材与上部基层间的摩擦阻力。当摩阻系数为1×10⁴kN·m^-1，筋材抗拉模量增大时，跨中位置右侧界面摩阻力逐渐减小，左侧界面摩阻力逐渐增大，而后曲线趋于平缓。抗拉模量Eg由6×10³kN·m^-1增大为原本的5倍与10倍时，界面摩阻力最大值分别减小了37.74%与55.99%，近端点处摩阻力则向正值增大，表明筋材与土相对位移略有增大；而当筋材抗拉模量保持在6×10⁴kN·m^-1时，摩阻系数增大为原本的2倍与3倍时，界面摩擦阻力整体有所增大，其极值分别增大了178.57%与374.61%。由此可看出，随着筋材抗拉模量的增大，界面间的相对滑移以及摩擦阻力减小，自身抗拉性能所提供的加筋效果更明显；而增大摩阻系数可以显著增大界面摩擦阻力，更好提升筋材的加筋效果。

图7为跨中作用1000 kN竖向荷载时不同截面位置处筋材的拉应变。当摩阻系数不变，筋材拉伸模量增大为原本的5倍与10倍时，其拉应变在正向与负向范围内皆明显减小，跨中处筋材应变值分别减小了44.31%与61.42%，表明增大拉伸模量可以防止其受拉破坏；而当筋材的拉伸模量保持不变，摩阻系数增大为原本的2倍与3倍时，筋材拉应变均有所增大，跨中处筋材拉应变值分别增大了34.89%与53.09%。

图5 不同筋材参数对路面挠度的影响
Fig.5 Influences of different parameters of geosynthetic on pavement deflections

图6 不同筋材参数对界面摩擦阻力的影响
Fig.6 Influences of different parameters of geosynthetic on interface friction

图7 不同筋材参数对筋材应变的影响
Fig.7 Influences of different parameters of geosynthetic on strains

3.2.2 基层参数的影响

图8给出了加筋与不加筋时不同极限剪力的基层在荷载作用下路面的跨中挠度曲线。比较加筋与不加筋两种情况，当基层的极限剪力由10kN增大至1000kN，跨中作用1000kN竖向荷载时挠度分别减小了7.07%与4.61%，表明增加基层的极限剪力可以一定程度上减缓路面沉降。同时，基层中铺设筋材时路面的挠度会明显小于不加筋时拥有更大基层极限剪力的情况，表明通过在基层中铺设土工合成材料，可以有效地提升加筋路基的抗变形能力，从而增强道路整体的稳定性。

图8 不同基层参数对路面挠度的影响
Fig.8 Influences of different parameters of subbase on deflections

3.2.3 水平荷载的影响

图9给出了跨中作用1000kN竖向荷载以及不同大小水平荷载时，路面结构的挠度变化曲线。从图中可以看出，水平荷载的增大对梁端由一定影响，其挠度变化有所增大，路面向上翘起。其原因是水平荷载与竖向荷载的耦合作用，加剧路面结构翘曲。

图 10给出了跨中作用1000kN竖向荷载与不同大小水平荷载时，筋材与上部基层间的摩擦阻力。由图可以看出，界面摩擦阻力随着距离梁端距离的增大先增大后减小；而且随着水平荷载的增大，界面整体的摩擦阻力有所增大，当荷载增大至300kN与600kN时，摩擦阻力极值分别增大了26.26%与52.49%，且作用点的水平摩阻有所增大。由此可见，水平荷载的大小会明显地影响筋材与基层间的相对滑移和摩擦阻力，所以通过铺设土工合成材料可以更好地减小水平荷载产生的影响，提高结构抵抗变形的能力。

图9 水平荷载对路面挠度的影响
Fig.9 Influences of horizontal loads on pavement deflections

图 10 不同水平荷载大小对界面摩擦阻力的影响
Fig.10 Influences of different horizontal loads on interface frictions